Imaginez l'air qui vous entoure. En chaque point de la pièce, l'air possède une vitesse spécifique — une direction de déplacement et une intensité. C'est un champ vectoriel. Contrairement à un champ scalaire, qui pourrait simplement vous indiquer la température en chaque point, un champ vectoriel « remplit » l'espace de flèches qui décrivent des phénomènes physiques dynamiques tels que le vent, les courants océaniques ou l'invisible attraction gravitationnelle.
Définitions formelles
Pour analyser ces champs de manière mathématique, nous utilisons les définitions fondamentales suivantes :
Définition 1 (Champ vectoriel en 2D) : Soit $D$ un ensemble dans $\mathbb{R}^2$. Un champ vectoriel sur $\mathbb{R}^2$ est une fonction $\mathbf{F}$ qui attribue à chaque point $(x, y)$ de $D$ un vecteur bidimensionnel :
$$\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle$$
où $P$ et $Q$ sont champs scalaires (fonctions de deux variables).
Définition 2 (Champ vectoriel en 3D) : Pour un sous-ensemble $E$ de $\mathbb{R}^3$, le champ est défini par : $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
Définition 2 (Champ vectoriel en 3D) : Pour un sous-ensemble $E$ de $\mathbb{R}^3$, le champ est défini par : $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
Interprétations physiques
- Champs de vitesse : Représentent les flux de fluide ou les schémas de vent. Par exemple, la figure 1 montre les schémas de vent dans la baie de San Francisco, tandis que la figure 13 modélise le fluide traversant un tube convergent.
- Champs de force :Loi de la gravitation de Newton définit un champ dont la norme est $|\mathbf{F}| = \frac{mMG}{r^2}$. Sous forme vectorielle : $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$. Remarque : Les physiciens utilisent souvent $\mathbf{r}$ au lieu de $\mathbf{x}$.
- Champs électriques : Défini par $\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$, représentant la force par unité de charge.
La géométrie des champs de gradients
Si $f$ est une fonction scalaire, son gradient $\nabla f$ crée un type particulier de champ vectoriel. En 3D, cela s'exprime par :
$$\nabla f(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$☸ Perspective géométrique
Comme illustré à la figure 15, les vecteurs gradient sont toujours perpendiculaires aux courbes de niveau (ou surfaces de niveau) de la fonction originale $f$ et pointent dans la direction du taux d'accroissement maximal.
Exemple 1 : Le champ tournant
Considérons $\mathbf{F}(x, y) = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j}$. Au point $(1, 0)$, nous avons $\langle 0, 1 \rangle$. Au point $(0, 1)$, nous avons $\langle -1, 0 \rangle$. En traçant ces vecteurs, on observe un flux circulaire autour de l'origine — la base mathématique pour modéliser les vortex et la rotation mécanique.